Правило дифференцирования элементарных функций

Я не обсчитался. Просто правило 4 - это элементарное следствие из правила 3. Но оно настолько популярно, что имеет смысл записать и запомнить! Под обозначениями U и V подразумеваются какие-то совершенно любые!

Содержание:

Точки минимума и максимума функции называются экстремальными точками данной функции, а значения функции в этих точках — минимумом и максимумом функции. Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, то есть точки принадлежащие области определения функции, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.

В практике дифференцирования не записывают сложную функцию в виде цепочки простейших элементарных функций, а держат ее и правила дифференцирования в памяти. Пример 1.

Формулы дифференцирования

Решение: 1 Применяем правило дифференцирования сложной функции. С урока Производная сложной функции следует помнить очень важный момент: когда мы по таблице превращаем синус внешнюю функцию в косинус, то вложение внутренняя функция у нас не меняется. Аналогично: Запишем полный дифференциал первого порядка: Пример 6 Найти частные производные первого порядка функции. Записать полный дифференциал.

Это пример для самостоятельного решения ответ в конце урока. Полное решение не привожу, так как оно достаточно простое Довольно часто все вышерассмотренные правила применяются в комбинации. Пример 7 Найти частные производные первого порядка функции. Знаете, всегда приятно, когда дробь удается превратить в ноль. Для второго слагаемого применяем правило дифференцирования произведения. Для третьего слагаемого применяем правило дифференцирования сложной функции.

Для третьего слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции. Для тех читателей, которые мужественно добрались почти до конца урока, расскажу старый мехматовский анекдот для разрядки: Однажды в пространстве функций появилась злобная производная и как пошла всех дифференцировать.

Все функции разбегаются кто куда, никому не хочется превращаться! И только одна функция никуда не убегает. Подходит к ней производная и спрашивает: — А почему это ты от меня никуда не убегаешь? Пример 8 Найти частные производные первого порядка функции. Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления задачи — в конце урока.

Ну вот почти и всё. Напоследок не могу не обрадовать любителей математики еще одним примером. Дело даже не в любителях, у всех разный уровень математической подготовки — встречаются люди и не так уж редко , которые любят потягаться с заданиями посложнее. Хотя, последний на данном уроке пример не столько сложный, сколько громоздкий с точки зрения вычислений. Пример 9. Найти все частные производные первого и второго порядков. Полное решение и образец оформления где-то рядом.

Что дальше? Дальше знакомимся с родственной темой — частными производными функции трёх переменных. И, наконец, обещанная вкусняшка — Производная по направлению и градиент функции.

Стратегия и тактика знакомы — сначала учимся решать, затем вникаем в суть! Желаю успехов!

Основные правила и формулы дифференцирования

Производная - одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную? Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений — на нашем телеграм-канале. Геометрический и физический смысл производной Пусть есть функция f x , заданная в некотором интервале a, b. Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента — разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента.

Правила дифференцирования

Продолжаем искать производные вместе Операция отыскания производной называется дифференцированием. В результате решения задач об отыскании производных у самых простых и не очень простых функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм. Чтобы найти производную, надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями произведение, сумма, частное связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного - в правилах дифференцирования.

Кратко правила дифференцирования можно сформулировать так: Правило 1.

Производная функции

Пример 3. Найти с помощью правила Лопиталя: а ; б Решение. Однако использовать замечательные пределы и перейти к эквивалентным функциям нельзя, так как в числителе — сумма. Воспользуемся правилом Лопиталя, предварительно проверив все условия. Неопределенность уже отмечена.

Таблица производных

Типичные ошибки при вычислении производной. Эпиграф: Однажды спросила: "Чем производная отличается от произведения? В эпиграфе описана реальная ситуация из моей практики. Вопрос возник, когда ученик запутался в правилах дифференцирования функций, в частности, не смог определить производную произведения двух функций. Во избежание подобной трактовки этой статьи напомню, что мы занимаемся именно математикой, и здесь термин "произведение" обозначает результат операции умножения, а "производная" это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

5.10.02 Правила дифференцирования и таблица производных

Производная — одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в 18 веке. Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали теорию дифференциального исчисления. О Ньютоне. Был этот мир глубокой тьмой окутан. Да будет свет! И вот явился Ньютон.

Используя правило дифференцирования обратной функции , получаем [c.

Основные правила дифференцирования

Решение: 1 Применяем правило дифференцирования сложной функции. С урока Производная сложной функции следует помнить очень важный момент: когда мы по таблице превращаем синус внешнюю функцию в косинус, то вложение внутренняя функция у нас не меняется. Аналогично: Запишем полный дифференциал первого порядка: Пример 6 Найти частные производные первого порядка функции. Записать полный дифференциал. Это пример для самостоятельного решения ответ в конце урока. Полное решение не привожу, так как оно достаточно простое Довольно часто все вышерассмотренные правила применяются в комбинации. Пример 7 Найти частные производные первого порядка функции. Знаете, всегда приятно, когда дробь удается превратить в ноль. Для второго слагаемого применяем правило дифференцирования произведения.

Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией. Операция "функция от функции" может проводиться не один раз, а любое число раз. Установим правило дифференцирования сложной функции. Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x. По условию. Теорема доказана. Это уравнение для каждого значения у определяет единственное значение x:. Поэтому мы можем рассматривать x как функцию от y. Прежде чем перейти к общему случаю, введем определения.

Таким образом, если при вычислении значения функции аргумент х определен с абсолютной погрешностью , то вызванная этой погрешностью абсолютная погрешность в значении функции при достаточно малых может быть заменена модулем значения дифференциала на смещении Тогда относительная погрешность может быть вычислена как отношение или как модуль произведения логарифмическои производной функции на величину абсолютной погрешности аргумента. Заметим, кстати, что если то и абсолютная погрешность в определении значения логарифма равна относительной погрешности в определении аргумента. Это обстоятельство прекрасно используется, например, в логарифмической линейке и многих других приборах с неравномерным масштабом шкал. А именно, представим себе, что с каждой точкой числовой оси, лежащей правее нуля, мы связали ее координату у и записали ее над точкой, а под этой точкой записали число Тогда Одна и та же числовая полуось оказалась наделенной одной равномерной шкалой у и одной неравномерной ее называют логарифмической шкалой Чтобы найти надо установить визир на числе и прочитать наверху соответствующее число у. Поскольку точность установки визира на какую-то точку не зависит от числа или у, ей отвечающего, и измеряется некоторой величиной длиной отрезка возможного уклонения в равномерной шкале, то при определении по числу его логарифма у мы будем иметь примерно одну и ту же абсолютную погрешность, а при определении числа по его логарифму будем иметь примерно одинаковую относительную погрешность во всех частях шкалы. Пример 8. Продифференцируем функцию.

.

Полезное видео: Алгебра 11 класс (Урок№13 - Производные элементарных функций.)
Комментарии
Спасибо! Ваш комментарий появится после проверки.
Добавить комментарий

  1. Пока нет комментариев. Будь первым!

© 2020 marisposa.ru